超曲面的外蕴 Paneitz 算子与 $Q$-曲率

对于黎曼流形 $X$ 的任意超曲面 $M$，近期工作引入了外蕴共形 Laplacian 与外蕴 $Q$-曲率的概念。本文我们推导了 Paneitz 算子的外蕴版本 ${\bf P}_4$ 以及相应外蕴四阶 $Q$-曲率 ${\bf Q}_4$ 在一般维数下的显式公式。该结果涉及嵌入 $M^4 \hookrightarrow X^5$ 的一系列显然的局部共形不变量（由 Weyl 张量与无迹第二基本形式定义）以及一个非平凡的局部共形不变量 $\mathcal{C}$。进而，我们将 $\mathcal{C}$ 识别为两个局部共形不变量 $J_1$ 和 $J_2$ 的线性组合。此外，$J_1$ 和 $J_2$ 的线性组合可用嵌入 $M \hookrightarrow X$ 的显然局部共形不变量表示。这最终将 ${\bf Q}_4$ 结构的非平凡部分归约为非平凡不变量 $J_1$。对于闭嵌入 $M^4 \hookrightarrow {\mathbb R}^5$，我们将 $J_i$ 的积分与 Guven 和 Graham-Reichert 的泛函相联系。此外，我们建立了超曲面 $M^4 \hookrightarrow X^5$ 的 Graham-Reichert 泛函在一般背景下的 Deser-Schwimmer 型分解。在此背景下，我们发现另一个局部共形不变量 $J_3$。最后，我们推导了闭嵌入 $M^4 \hookrightarrow X^5$ 的奇异 Yamabe 能量的显式公式。所得显式公式表明其与总外蕴四阶 $Q$-曲率成正比。该观察证实了一个一般事实的特例，并作为对我们主要结果的额外交叉验证。