共形爱因斯坦流形上的拉普拉斯算子与 Q-曲率

对于任意符号的共形爱因斯坦流形，给出典范共形微分算子 $P_k$（$k=1,2,...)$ 的新定义，其首项为拉普拉斯算子的 $k$ 次幂。这些算子在密度丛之间，更一般地在任意秩的加权 tractor 丛之间作用。由构造可知，它们分解为与爱因斯坦度量相关的某个基本拉普拉斯算子的幂次。Graham-Jenne-Mason-Sparling (GJMS) 给出了密度丛上的自然共形拉普拉斯算子。我们证明在共形爱因斯坦流形上这些算子与 $P_k$ 算子一致，因而在爱因斯坦流形上 GJMS 算子分解为若干二阶拉普拉斯型算子的乘积。在偶数维 $n$ 下 GJMS 算子仅对 $1\leq k\leq n/2$ 有定义，因此在共形爱因斯坦流形上，$P_{k}$ 将该算子族推广到所有偶数阶算子。对 $n$ 为偶数且 $k>n/2$，$P_k$ 算子由关于爱因斯坦度量的自然公式给出，但作为共形不变算子并不自然。我们证明它们仍是共形爱因斯坦结构上的典范对象。这些结果可推广到加权 tractor 丛之间的算子。我们证明在爱因斯坦流形上 Branson Q-曲率为常数，并给出用数量曲率表示该常数的显式公式。作为发展的一部分，给出了等价于共形 Killing 方程的共形不变 tractor 方程。