Pontrjagin 形式与 Q-曲率相关的不变对象

我们通过给出 Pontrjagin 形式一种显然共形不变 constructions 来阐明其共形不变性；它们被证明是共形不变的 tractor 联络的 Pontrjagin 形式。Q-曲率与 Pfaffian 密切相关。在偶维流形上，我们展示了 \cite{ddd} 中推广 Q-曲率的 $k$-形式算子 $Q_k$ 如何通过阻碍闭形式上自然算子的某些表示，保留 Q-曲率与 Pfaffian 关系的一个关键方面。在一个紧密相关的方向上，我们展示了 $Q_k$ 在整体上产生共形不变的二次型 $\Theta_k$，它们在适当意义下于积分度量配对（当 $k=n/2$ 时）与 Pfaffian（当 $k=0$ 时）之间插值。使用另一种构造，我们展示了 $Q_k$ 算子给出了周期映射的一个推广，该映射将共形结构映射到直和 $H^k\oplus H_k$（其中 $H_k$ 是 de Rham 上同调空间 $H^k$ 的对偶）的 Lagrangian 子空间。我们将 $Q_k$ 算子与 Pontrjagin 形式耦合，构造出新的自然密度，它们与原始 Q-曲率有许多共同性质；特别地，这些密度积分得到整体共形不变量。我们还给出了一个相关例子，并说明其临界度量为常数 Q-曲率的非线性作用泛函的不变性证明可推广到这些新 Q-类对象的作用泛函。最后我们建立了将 Q-曲率限定问题推广到 $Q_k$-算子的特征值问题。