残差族、奇异 Yamabe 问题与外在共形拉普拉斯算子

设 $(X,g)$ 为带边界 $M^n$ 的紧流形，$\sigma$ 为 $M$ 的定义函数。针对这些数据，我们关联出自然的共形协变多项式单参数微分算子族 $C^\infty(X) \to C^\infty(M)$。它们通过残差构造产生，推广了早先在 Poincaré-Einstein 度量框架下的构造。残差族定义的主要成分是奇异度量 $\sigma^{-2}g$ 的拉普拉斯算子的特征函数。我们证明若 $\sigma$ 为奇异 Yamabe 问题的近似解，这些族可写为某些退化拉普拉斯算子的复合。该结果意味着近期 Gover 与 Waldron 工作中引入的外在共形拉普拉斯算子及外在 $Q$-曲率的观念可自然地用残差族重新表述。这一新的谱理论视角使我们能将外在共形拉普拉斯算子与临界外在 $Q$-曲率同渐近双曲度量 $\sigma^{-2}g$ 的散射算子相关联，扩展了 Graham 与 Zworski 的工作。后一关联意味着外在共形拉普拉斯算子是自伴的。我们描述了奇异 Yamabe 度量体积依 Laplace-Robin 算子的渐近展开。我们还推导了所有外在 $Q$-曲率的新的局部全息公式，用重整化体积系数、背景度量的数量曲率以及奇异度量 $\sigma^{-2}g$ 的拉普拉斯算子特征函数的渐近展开表示。此外，我们证明了奇异 Yamabe 障碍 $B_n$ 的新公式，并借此推导低阶情形障碍的显式表达式（印证了早先结果）。最后，我们将障碍 $B_n$ 与超临界 $Q$-曲率 $Q_{n+1}$ 相关联。