$\eta$-Laplacian 特征值的 Hadamard 型变分公式及其应用

我们考虑紧光滑流形 $M$ 上的解析黎曼度量族。我们假设 $\eta$-Laplacian 满足 Dirichlet 边界条件，并获得了特征函数和特征值解析曲线的 Hadamard 型变分公式。作为应用，我们证明对于 $M$ 上所有 $C^r$ 黎曼度量 $\mathcal{M}^r$ 的一个子集，当 $2\leq r< \infty$ 时，$\eta$-Laplacian 的所有特征值通常是单重的。这意味着在 $\mathcal{M}^r$ 中存在一个剩余度量集，使得 $\eta$-Laplacian 的谱是单的。同样地，我们证明在 $M$ 上所有 $C^r$ 函数的空间 $\mathcal{F}^r$ 中存在一个漂移函数 $\eta$ 的剩余集，当 $2\leq r< \infty$ 时，同样使得 $\eta$-Laplacian 的谱是单的。此外，我们给出了关于这些剩余集的补集，以及保持双重特征值的黎曼度量形变集（或漂移函数形变集）结构的精确信息。此外，我们考虑了黎曼流形中一个区域的扰动族，并获得了该情况下 $\eta$-Laplacian 特征值的 Hadamard 型公式。我们还在此背景下建立了特征值的通有性质。