黎曼流形中区域形变与 Dirichlet Laplacian 的特征值

对于实解析黎曼流形 $M$ 中的任意有界正则区域 $\Omega$，我们将 $\Omega$ 的 Dirichlet Laplacian 的第 $k$ 个特征值记为 $\lambda_{k}(\Omega)$。在本文中，我们将 $\lambda_k$ 视为 $M$ 中固定体积区域集合上的泛函进行研究。我们引入并探讨了该泛函的临界区域的自然概念。特别地，我们获得了区域对于 $\lambda_k$ 成为临界、局部极小或局部极大的充分必要条件。这些结果依赖于我们在该一般框架下建立的 Hadamard 型变分公式。