黎曼流形中第一非零 Neumann 特征值的临界区域

本文致力于研究与黎曼流形 $(\mathcal{M},g)$ 的有界子区域 $\Omega$ 上 Laplace-Beltrami 算子的 Neumann 特征值问题相关的几何优化问题。更确切地说，我们分析了在保体积区域扰动下第一非平凡特征值 $\mu_2(\Omega)$ 的局部极值区域，并证明了相应的临界性概念以超定边界问题的形式出现。我们的结果依赖于 Zanger 形状导数公式的推广，该推广涵盖了 $\mu_2(\Omega)$ 不是单重特征值的情形。在论文的第二部分，我们聚焦于形如 $\mathcal{M} = \mathbb{R}^k \times \mathcal{N}$ 的积流形，并对相关的超定边值问题有解的子区域进行了分类。