加权流形中某些 Dirichlet 积分的临界区域
微分几何
2024-10-11 v2
摘要
我们首先重新审视一个泛函的变分公式推导，该泛函将黎曼流形中的有界正则区域映射为其第一 Dirichlet 特征值，并将其推广到某些加权流形中的（不一定有界的）区域。这进一步被推广到由某些 Dirichlet 能量积分定义的其他泛函，并建立了相应临界区域的 Morse 指标公式。我们通过证明高斯半空间中（可能是临界的）区域的几个全局刚性定理来补充这些无穷小结果，包括 Alexandrov 型肥皂泡定理。尽管我们提供了这些后续结果的直接证明，但我们认为值得指出的是，所采用的主要工具（具体而言，是某些 Pohozhaev 和 Reilly 恒等式）可以在形式上理解为 Ciarolo-Vezzolini 和 Qiu-Xia 先前为处理全球面半球中类似问题而建立的工具的极限（当维度趋于无穷大时），其中加权流形的“收敛”概念宽泛地受到了高斯随机向量理论中著名的 Poincaré 极限定理的启发。
引用
@article{arxiv.2409.03554,
title = {Critical domains for certain Dirichlet integrals in weighted manifolds},
author = {Levi Lopes de Lima},
journal= {arXiv preprint arXiv:2409.03554},
year = {2024}
}
备注
Rewritten at some points to improve the presentation; Section 8 slightly expanded, became an appendix; lots of typos fixed; a few references added; 27 pages; no figures