关于局部共形平坦流形上半线性共形不变方程的正解

本文研究闭局部共形平坦流形上一族共形不变方程正解的存在性与紧性。这族共形协变算子 $P_\alpha$ 是通过与共形流形 $(M^n, [g])$ 相关的 Poincar\'{e} 度量的散射理论引入的。我们证明，在闭的局部共形平坦流形上，若对某个 $\alpha \in [2, n)$ 其 Poincar\'{e} 指数小于 $\frac {n-\alpha}2$，则方程 $$P_\alpha u = u^\frac {n+\alpha}{n-\alpha}$$ 的正光滑解集合在 $C^\infty$ 拓扑中是紧的。因此正解的存在性可由 Yamabe 度量的存在性和度理论得出。