利用变分方法证明具有对偶尖点突变的双 S 型分岔曲线的存在性

我们讨论了以下形式方程的多重正解的存在性，这些解导致 S 型分岔曲线的出现：$$-\Delta_p u= f(\mu,\lambda, u)~ \mbox{in} ~\Omega \subset \mathbb{R}^N$$ 其中 $\Delta_p$ 是 $p$-Laplacian，$p>1$，$N\geq 1$，$\mu, \lambda \in \mathbb{R}$。我们处理了 $f(\mu,\lambda, u)$ 在 $u=0$ 处非 Lipschitz、$f(\mu,\lambda, 0) = 0$ 且 $f(\mu,\lambda, u) <0$（对于某个 $r<+\infty$，$u \in (0,r)$）的相对未探索的情况。我们发展了非线性广义 Rayleigh 商方法，以寻找方程可能具有不同正解分支的参数范围。作为推论，应用 Nehari 流形方法和山路定理，我们证明了对于某些 $\mu, \lambda$ 取值范围内的方程，至少存在三个正解，其中两个是线性不稳定解，一个是线性稳定解。结果表明分岔曲线呈 S 型，并表现出所谓的对偶尖点突变，其特征在于相应的动态方程仅在参数控制平面内的尖点状区域中具有稳定状态。即使在 $p=2$ 的一维情况下，我们的结果也是新的。