一种用于 NLS 方程层状解存在性的能量约束方法

我们研究半线性椭圆方程 $-\Delta u+u=f(u)$ 在 $\R^{N+1}$ 上正解的存在性，其中 $N\geq 1$ 且 $f$ 模拟幂次情形 $f(u)=|u|^{p-1}u$。记 $c$ 为泛函 $\f(u)=\tfrac 12\|u\|^{2}_{H^{1}(\R^{N})}-\int_{\R^{N}}F(u)\, dx$ 的山口水平，其中 $u\in H^{1}(\R^{N})$（$F(s)=\int_{0}^{s}f(t)\, dt$）。我们通过一种新的能量约束变分论证证明，对于任意 $b\in [0,c)$，存在一个正有界解 $v_{b}\in C^{2}(\R^{N+1})$，使得 $E_{v_{b}}(y)=\tfrac 12\|\partial_{y}v_{b}(\cdot,y)\|^{2}_{L^{2}(\R^{N})}-V(v_{b}(\cdot,y))=-b$，且当 $|x|\to+\infty$ 时 $v(x,y)\to 0$ 关于 $y\in\R$ 一致成立。我们还刻画了 $v_{b}$ 的单调性、对称性和周期性性质。