一类带参数的广义 Hammerstein 方程解的存在性与多解性结果

本文考虑积分算子 \begin{equation*} {\mathcal{T}}u(t)=\lambda \,\int_{0}^{T}k(t,s)\,f(s,u(s),u^{\prime }(s),\dots ,u^{(m)}(s))\,\dif s,\quad t\in \lbrack 0,T]\equiv I, \end{equation*} 的不动点存在性与多解性,其中 $\lambda >0$ 为正参数, k:I\times I\rightarrow \mathbb{R% } 为核函数且满足 $k\in W^{m,1}\left( I\times I\right)$, $m$ 为不小于 1 的正整数, $f:I\times \mathbb{R}^{m+1}\rightarrow \lbrack 0,+\infty \lbrack$ 为 $L^{1}$-Carathéodory 函数。利用新型锥上的不动点指数理论得到这些 Hammerstein 方程解的存在性。因此,某些假设只需对核函数或其至少一个导数在定义域的某个子集上成立即可。在对非线性项 $f$ 施加渐近条件后,我们得到了解的多重性的充分条件。两个例子将说明主要结果的潜力,即核函数和/或其某些导数可仅在部分子区间上为正,这些子区间甚至可退化为一点。此外,我们将该方法应用于一般 Lidstone 问题,改进了文献中该领域已有的结果。