模p^n下a^x = b解的存在性与分布

本文的初始目标是研究同余式a^x = b^y (mod p^n)解的存在性以及当n在自然数中变化时解(x, y)的分布，其中a和b是与素数p互质的整数。我们观察到，当n趋于无穷时，解呈现为p进整数的形式。这促使我们研究方程a^x = b在p进整数中解的存在性。相关情形是a和b是p进整数中的单位。如果解存在，我们尝试找出它。我们完全解决了a, b属于U_1的情形。对于a, b是U_1中元素的情况，方程a^x = b解存在的充要条件是“a-1的赋值小于b-1的赋值”。在这种情况下，如果解存在，则由log b / log a给出。在另一种情形中，即a和b是p进单位但不属于U_1时，我们给出了方程a^x = b解存在的判据。将a和b写成泰希米勒单位与U_1中元素的乘积。假设a = a_1 a_2，b = b_1 b_2，其中a_1, b_1是泰希米勒单位，a_2, b_2属于U_1。那么方程a^x = b的解存在当且仅当b_1属于由a_1生成的群，并且a_2 - 1的赋值小于b_2 - 1的赋值。