三维环形区域中的精确庞加莱常数

我们研究三维环形区域。在我们的无量纲设定中，每个环形区域${\Omega}_{\cal A}$由两个同心球定义，半径分别为${\cal A}/2$和${\cal A}/2+1$。对于这些几何体，我们给出了标量函数的庞加莱常数的精确值，并计算了无旋向量场的精确庞加莱常数（两种情况均具有边界上消失的狄利克雷迹）。为此，我们分别使用了标量拉普拉斯算子和斯托克斯算子的第一特征值。此外，对应的问题在区域${\Omega}_{\sigma}^{*}$（三维环形区域）中也得到了研究——既用于比较，也用于提供${\cal A}\to 0$时的极限。特别地，具有边界上消失狄利克雷迹的${\Omega}_{\sigma}^{*}$上拉普拉斯算子的格林函数被用来证明当${\sigma}\to 0$时，这里的第一特征值趋于对应问题在开单位球上的第一特征值。另一方面，我们利用${\cal A}\to\infty$时的所谓小间隙极限。