谱隙、对称性与对数凹扰动

我们讨论了在 $\mathbb{R}^n$ 上扰动一个概率测度不会使其 Poincaré 常数大幅恶化的情况。一个特别的例子是 $\mathbb{R}^n$ 中的对称指数测度，其偶数对数凹扰动的 Poincaré 常数随维数至多对数增长。这给出了 $\ell_p^n$ 单位球（$1 \leq p \leq 2$）的 $(n/2)$ 维截面的 Poincaré 常数的估计，这些估计在对数因子范围内是最优的。我们还考虑了与对数凹测度相关的 Laplace 型算子的特征空间的对称性性质。在对称性假设下，我们证明该空间的维数恰为 $n$，并展示了谱的“奇”部与“偶”部之间的某种交错。