度量测度空间上的一致庞加莱不等式

考虑配备 Borel 测度 $\mu$ 的恰当测地度量空间 $(X,d)$。若其满足局部庞加莱不等式（$P_{loc}$）与体积增长条件，我们建立 $(X,d,\mu)$ 上的一族一致庞加莱不等式。因此，若 $\mu$ 是加倍测度且支持 $(P_{loc})$，则其满足 $(\sigma,\beta,\sigma)$-庞加莱不等式。若 $(X,d,\mu)$ 为 $\delta$-双曲空间，则利用 \cite{BCS} 中的体积比较定理，我们得到庞加莱常数呈指数增长的一致庞加莱不等式。若 $X$ 为紧致 $CD(K,\infty)$ 空间的万有覆盖，则其支持一致庞加莱不等式，且庞加莱常数依赖于基本群的增长。