椭圆曲线下挠子局部研究

本文关注椭圆曲线下挠子的几何。设$\OO_K$是一个完备离散赋值环，具有代数闭剩余域和函数域$K$。设$\pi$是$\OO_K$极大理想的一个生成元，且$S=\mathrm{Spec}(\OO_K)$。假设给定$J_K$是$K$上的一条椭圆曲线，$J$是$J_K$的$S$-Néron模型的连通分支。给定$X_K/K$是$J_K$下的一个$d$阶挠子，设$X$是$S$-极小正则真模型。那么存在一个可逆理想$\mathcal{I}\subset \OO_K$使得$\mathcal{I}^{d}=\pi\OO_X\subset \OO_X$。此外，存在一个典范态射$q:\Pic^{\circ}_{X/S}\rightarrow J$，它诱导一个满射$q(S):\Pic^{\circ}(X)\rightarrow J(S)$。本文的目的是证明最后一个态射$q(S)$关于$\Pic^{\circ}(X)$上的$\mathcal{I}$-进滤子和$J(S)$上的$\pi$-进滤子是相容的。作为副产品，我们获得了类似于Serre在描述局部类域时使用的“Herbrand函数”(\cite{Serre})。