半拉格朗日格式在含色散项保守律方程中的高阶插值误差估计

我们建立了关于一维含色散项保守律方程初始值问题的半拉格朗日格式误差估计，包括科尔韦德-莱维茨方程。本文所考察的格式基于半拉格朗日技术，结合高阶插值算子进行空间离散化。对于采用阶数为 $2s-1$ 的样条或 Herman 插值算子的半拉格朗日格式，我们推导了 $L^2$ 误差估计为 $O(\Delta t^r + h^{2s} / \Delta t)$，以及 $H^s$ 误差估计为 $O(\Delta t^r + h^{s} / \sqrt{\Delta t})$，其中 $h$ 和 $\Delta t$ 分别为空间网格大小和时间步长，$r \in (0, 1]$ 为色散项离散化所决定的参数。分析中的关键步骤是建立插值算子的稳定性。在适当假设下，阶数为 $2s-1$ 的插值算子相对于 $H^s$ 范数以及加权 $H^s$ 范数都稳定。加权 $H^s$ 范数依赖于 $h$ 和 $\Delta t$，当 $h \to 0$ 时，它退化为 $L^2$ 范数。