对流扩散问题的保质量两步 Lagrange-Galerkin 格式

提出了一种时间二阶的保质量两步 Lagrange-Galerkin 格式用于对流扩散问题，并在 $L^2$ 理论框架下证明了具有最优误差估计的收敛性。所引入的格式保持了 Lagrange-Galerkin 方法的优点，即对对流占优问题的 CFL-free 鲁棒性，以及由离散化得到的对称正定系数矩阵。此外，若所涉及积分被精确计算，该格式在离散层面上守恒质量。通过采用关于守恒型物质导数截断误差和关于多步方法的离散 Gronwall 不等式的两个新关键引理，证明了无条件稳定性和时间二阶误差估计。保质量性质通过 Rui 和 Tabata 于 2010 年引入的 Jacobian 乘法技术实现，时间二阶精度基于 Ewing 和 Russel 于 1981 年最初引入的沿特征的多步 Galerkin 方法思想获得。对于第一步，采用 Rui 和 Tabata 于 2010 年提出的时间一阶保质量格式，其高效且不会在 $\ell^\infty(L^2)$- 和 $\ell^2(H^1_0)$-范数下引起任何收敛阶损失。对于时间步长 $\Delta t$、网格尺寸 $h$ 以及多项式次数为 $k$ 的协调有限元空间，若可采用对偶论证，则在 $\ell^\infty(L^2)\cap \ell^2(H^1_0)$-范数下收敛阶为 $O(\Delta t^2 + h^k)$，在 $\ell^\infty(L^2)$-范数下为 $O(\Delta t^2 + h^{k+1})$。另外证明了在离散版本的 $L^\infty(H^1_0)$- 和 $H^1(L^2)$-范数下 $O(\Delta t^{3/2}+h^k)$ 的误差估计。数值结果在一维、二维和三维中证实了理论收敛阶。