关于平流问题中半拉格朗日方法与傅里叶方法的误差传播

本文研究了在高精度需求下平流方程数值格式的误差传播。所考虑的数值方法基于快速傅里叶变换、多项式插值（使用拉格朗日或样条插值的半拉格朗日方法）以及间断伽辽金半拉格朗日方法（该方法具有守恒性且需在每个单元存储不止一个值）。我们通过数值实验表明，文献中给出的最坏情况误差估计很好地解释了基于插值的半拉格朗日方法的误差传播。然而，对于间断伽辽金半拉格朗日方法，我们发现并未观察到半拉格朗日误差估计的特征性质（即误差随时间步数成比例增加）。我们为这种行为提供了解释，并进行了数值模拟，证实了两种半拉格朗日方法中误差的不同定性特征。基于快速傅里叶变换的方法是精确的，但由于舍入误差，其误差随时间步数呈线性增加。我们展示了如何修改 Cooley--Tukey 算法，以获得与时间步数的平方根成正比的误差增长。最后，针对一个简单模型，我们证明了当平流求解器作为分裂格式的一部分使用时，我们的结论依然成立。