等齐性、Assouad 维数与非自治动力学

我们证明了满足 Moran 开集条件的迭代函数系统产生的自相似集（一类典型的分形集）是“等齐的”(equi-homogeneous)。这是一种正则性性质，粗略地说，意味着在每个固定长度尺度下，该集的任意两个邻域具有基数近似相等的覆盖。自相似集的显著特点是它们是 Ahlfors-David 正则的，这意味着它们的 Assouad 维数和盒计数维数重合。更一般地，非自治迭代函数系统（其中映射在迭代之间允许变化）的吸引子可能具有不同的 Assouad 维数和盒计数维数。因此，熟悉的 Ahlfors-David 正则性概念对于分析这类重要集合（包括广义 Cantor 集，并在不同长度尺度上表现出不同的维数行为）而言过于严格而无法适用。我们进一步发展了等齐性理论，表明它是比 Ahlfors-David 正则性更弱的性质，且不同于任何先前定义的维数等价概念。然而，我们证明如果一个等齐集的上、下盒计数维数相等且在某种我们精确定义的意义上“达到”，则其下 Assouad 维数、Hausdorff 维数、packing 维数、下盒计数维数、上盒计数维数和 Assouad 维数均重合。我们的主要结果提供了非自治迭代函数系统吸引子为等齐的条件，并利用此计算了某类高度非平凡集合的 Assouad 维数。