广义 Cantor 集与积的维数

本文探讨了 Assouad 维数与盒计数维数之间的关系，以及两者在取积运算下的表现。我们引入了集合的“等齐性”(equi-homogeneity) 概念，要求在所有尺度和所有点上局部覆盖的大小具有均匀性。我们证明，对于具有相等上下盒计数维数且“达到”这些维数的集合（类似于考虑 Hausdorff 维数时的`s-集`），若该集合是等齐的，则其 Assouad 维数与盒计数维数重合。利用这一事实，我们表明对于任意 $\alpha\in(0,1)$ 和任意满足 $\beta + \gamma\geq 1$ 的 $\beta,\gamma\in(0,1)$，可以构造两个广义 Cantor 集 $C$ 和 $D$，使得 $\text{dim}_{B}C=\alpha\beta$，$\text{dim}_{B}D=\alpha\gamma$，且 $\text{dim}_{A}C=\text{dim}_{A}D=\text{dim}_{A}(C\times D)=\text{dim}_{B}(C\times D)=\alpha$。