克莱因瓶网格图上的赤道平衡 C4-面幻标号

对于嵌入克莱因瓶的图 $G = (V, E)$，令 $\mathcal{F}(G)$ 表示 $G$ 的面集。若存在双射 $f: V(G) \to \{1, 2, \dots, |V(G)|\}$，使得对任意 $F \in \mathcal{F}(G)$ 且 $F \cong C_k$，沿 $C_k$ 的所有顶点标号之和为常数 $S$，则称 $G$ 为 $C_k$-面幻克莱因瓶图。对所有 $v\in V(G)$ 令 $x_v =f(v)$。我们称 $\{x_v : v\in V(G)\}$ 为 $G$ 上的 $C_k$-面幻克莱因瓶标号。考虑以自然方式嵌入克莱因瓶的 $m \times n$ 网格图，记为 $\mathcal{K}_{m,n}$。我们证明对 $m,n\ge 2$，$\mathcal{K}_{m,n}$ 存在 $C_4$-面幻克莱因瓶标号当且仅当 $n$ 为偶数。若对全部 $(i,j) \in V(\mathcal{K}_{m,n})$ 有 $x_{i,j} + x_{i,n+1-j} = \tfrac{1}{2} S$，则称 $\mathcal{K}_{m,n}$ 上的 $C_4$-面幻克莱因瓶标号 $\{x_{i,j}: (i,j) \in V(\mathcal{K}_{m,n}) \}$ 为赤道平衡的。我们证明当 $m$ 为奇数时，$\mathcal{K}_{m,n}$ 上的 $C_4$-面幻克莱因瓶标号必为赤道平衡的。同样在 $m$ 为奇数时，我们证明（模克莱因瓶上的对称）在 $m \times 4$ 克莱因瓶网格图上的 $C_4$-面幻克莱因瓶标号个数为 $2^m \, (m-1)! \, \tau(m)$，其中 $\tau(m)$ 为 $m$ 的正因数个数。此外，令 $m\ge 3$ 为奇数且 $n \ge 6$ 为偶数。则（模克莱因瓶上的对称）$\mathcal{K}_{m,n}$ 上不同的 $C_4$-面幻克莱因瓶标号 $X$ 的最少个数为：若 $n \equiv 0\pmod{4}$ 则为 $(5\cdot 2^m)(m-1)!$，若 $n \equiv 2\pmod{4}$ 则为 $(6\cdot 2^m)(m-1)!$。