关于 $(k,d)$-钩型 Skolem 优美图

对于图 $(p, q)$ 图 $G = (V, E)$，若存在双射 $f:V (G)\rightarrow \{1, 2, \dots, p-1, p+1\}$，使得由 $g_f (uv) = |f(u) - f(v)|$ $\forall uv \in E$ 定义的导出边标号 $g_f : E \rightarrow \{k, k+d, \dots, k+(n-1)d \}$ 也是双射，其中 $k$ 和 $d$ 为正整数，则称该图为 $(k, d)$-钩型 Skolem 优美的。这样的标号 $f$ 称为 $G$ 的 $(k, d)$-钩型 Skolem 优美标号。注意，当 $k = d = 1$ 时，此概念与图 G 的钩型 Skolem (HS) 优美标号一致。在本文中，我们给出了 $(k, d)$-钩型 Skolem 优美图的一些初步结果，并证明了 $nK_2$ 是 $(2, 1)$-钩型 Skolem 优美的当且仅当 $n \equiv 1~\mbox{or}~2(\bmod~ 4)$。