超边优美路

一个阶为 $|V|=p$、大小为 $|E|=q$ 的图 $G(V,E)$ 被称为超边优美的，如果存在一个从 $E$ 到 $\{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{q-1}{2}\}$（当 $q$ 为奇数时）或从 $E$ 到 $\{\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{q}{2}\}$（当 $q$ 为偶数时）的双射 $f$，使得由 $f^*(x) = \sum_{xy\in E(G)}f(xy)$ 定义的诱导顶点标号 $f^*$ 是从 $V$ 到 $\{0,\pm 1,\pm 2...,\pm \frac{p-1}{2}\}$（当 $p$ 为奇数时）或从 $V$ 到 $\{\pm 1,\pm 2,...,\pm \frac{p}{2}\}$（当 $p$ 为偶数时）的双射。我们证明了除 $P_2$ 和 $P_4$ 外的所有路 $P_n$ 都是超边优美的。