关于图的幸运标号

假设图 $G$ 的顶点被任意地用正整数标号，并令 $Sum(v)$ 表示顶点 $v$ 的所有邻点标号之和。若函数 $Sum$ 是 $G$ 的一个正常着色，即当 $u$ 和 $v$ 相邻时有 $Sum(u) \neq Sum(v)$，则称该标号为幸运标号。使得图 $G$ 存在一个来自集合 $\lbrace 1, 2, ...,k\rbrace$ 的幸运标号的最小整数 $k$ 称为 $G$ 的幸运数，记为 $\eta(G)$。我们将证明，对于除 $K_{2}$ 外的每个图 $G$，有 $\frac{w}{n-w+1}\leq\eta (G) \leq \Delta^{2}$，并给出一个用于 $G$ 的幸运标号的算法。