基于共振硬夹杂的弹性 Calderón 问题：N-D 映射的线性化与密度重建

我们研究一类弹性 Calderón 型反问题：从与各向同性 Lamé 系统 $\mathcal{L}_{\lambda,\mu}u+\omega^2\rho(x)u=0$ 相关的 Neumann-to-Dirichlet 映射中，恢复有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 中的质量密度 $\rho(x)$。我们引入一种构造性策略，嵌入亚波长周期性共振高密度（硬）夹杂阵列，以产生具有均匀负密度平移的有效介质。具体而言，我们在 $\Omega$ 内部严格放置尺寸为 $a$、密度为 $\rho_1\asymp a^{-2}$ 的周期性夹杂簇。对于调谐至单个夹杂的弹性 Newton (Kelvin) 算子特征值的频率 $\omega$，我们证明了当 $a\to0$ 且夹杂数量 $M\to\infty$ 时，Neumann-to-Dirichlet 映射 $\Lambda_D$ 收敛于对应背景密度平移 $-\mathcal{P}^2$ 的有效映射 $\Lambda_{\mathcal{P}}$，其算子范数估计为 $\|\Lambda_D-\Lambda_{\mathcal{P}}\|\le Ca^{\alpha}\mathcal{P}^6$，其中 $\alpha>0$ 由几何标度决定。围绕该负背景，我们推导出 $\Lambda_{\mathcal{P}}$ 关于 $\rho$ 与平移 Lamé 算子的 Newton 体积势的一阶线性化。利用复几何光学解测试该线性化关系，得到 $\rho$ 的 Fourier 变换的显式重建公式，进而给出全局密度恢复方案。研究结果为线性弹性中的反系数问题提供了一种受超材料启发的分析框架，并为在重建算法中利用纳米尺度谐振器提供了具体范式。