线性化 Calderón 问题:无限维无界扰动空间下的重构与 Lipschitz 稳定性

我们研究二维有界单连通 $C^{1,\alpha}$ 区域 $\Omega$ 中的线性化 Calder\'on 问题。在将线性化问题推广到 $L^2(\Omega)$ 扰动后,我们正交分解 $L^2(\Omega) = \oplus_{k=0}^\infty \mathcal{H}_k$,并证明在每个无限维 $\mathcal{H}_k$ 子空间上的 Lipschitz 稳定性。特别地,$\mathcal{H}_0$ 是平方可积调和扰动空间。这似乎是(线性化)Calder\'on 问题背景下针对无限维扰动空间的首个 Lipschitz 稳定性结果。先前关于数据映射算子范数的最优估计在无限维情形下为对数型。这一显著改进得益于对 Neumann-to-Dirichlet 边界映射及其关于电导率系数的 Fr\'echet 导数采用 Hilbert-Schmidt 范数。我们还推导了一种直接重构方法,可归纳地给出一般 $L^2(\Omega)$ 扰动在 $\mathcal{H}_k$ 空间上的正交投影,从而重构任意 $L^2(\Omega)$ 扰动。