线性与非线性 Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou 晶格中的色散分形化

我们从解析与数值两方面研究了周期线性与非线性 Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou 系统解的色散分形化与量子化。在周期边界条件与不连续初始条件（例如阶跃函数）下，FPUT 的线性化与非线性连续模型在无理时刻（由系数与区间长度决定）均呈现分形解剖面，而在有理时刻呈现量子化剖面（分段常数或其扰动）。我们在线性化 FPUT 链中于这些模型有效的时刻 $t$ 观察到类似效应，即 $t = \mathrm{O}(h^{-2})$，其中 $h$ 正比于质量间距，或等价地正比于质量数目的倒数。对于非线性周期 FPUT 系统，我们的数值结果表明在存在小非线性时存在某种类似行为，并随非线性力大小增加而消失。然而，这些现象在极长时间区间上显现，随着质量数目增加给数值积分带来严峻挑战。即便采用本文所用高阶分裂方法，我们的数值研究也仅限于质量数目较少的非线性 FPUT 链，不足以明确解决该问题。