$K_5$-小径无交叉对应色彩

托马森著名地证明了每个平面图都是 5-可选的。我们探讨了此类结果的变体，聚焦于寻找更一般的 $K_5$-小径图中无交叉对应色彩。在 $K_5$-小径图中，对每个正整数 $t$，对应 $t$-覆盖 $\textbf{M}$ 为每个顶点 $v\in V(G)$ 分配一组可接受颜色 $\{1_v,\ldots,t_v\}$，并为每个边 $vw\in E(G)$ 在 $\{1_v,\ldots,t_v\}$ 和 $\{1_w,\ldots,t_w\}$ 之间指定一个匹配。$\textbf{M}$-着色 $\varphi$ 为每个顶点 $v$ 选取一种颜色 $\varphi(v)$（来自集合 $\{1_v,\ldots,t_v\}$），使得对于每条边 $vw\in E(G)$，颜色 $\varphi(v),\varphi(w)$ 不能相互匹配。两个 $\textbf{M}$-着色 $\varphi_1,\varphi_2$ 若在所有 $v\in V(G)$ 上都有 $\varphi_1(v)\ne\varphi_2(v)$，则称为无交叉。对于每个 $K_5$-小径图 $G$ 和每个对应 6-覆盖 $\textbf{M}$，我们构造 3 对互不相交的 $\textbf{M}$-着色 $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$。与此相反，我们给出 $K_5$-小径图和对应 5-覆盖 $\textbf{M}$ 的示例，表明它们不容许 3 个无交叉的 $\textbf{M}$-着色。