平面图的次等效着色

次等效着色（也称为松弛着色或不proper着色）是proper着色的一个推广，定义如下：对于 $d \in \mathbb{N}$，若图中每个顶点最多与 $d$ 个邻居颜色相同，则称该着色为 $d$-次等效的。我们在对应着色（着色的推广，由 Dvo\r{}ak 和 Postle 引入）的背景下研究平面图的次等效着色。首先我们证明存在一个平面图不能进行 $3$-次等效 $3$-对应着色，从而加强了 Cho、Choi、Kim、Park、Shan 和 Zhu 等人最近的結果。然后我们构造一个平面图可以进行 $1$-次等效 $3$-对应着色，但不能进行 $4$-对应着色，从而将 Ma、Xu 和 Zhu 最近的由 list 着色扩展到对应着色的结果。最后我们证明所有外平面图都可以进行 $3$-次等效 $2$-对应着色，其中 $3$ 次等效性是最佳的。