度量测度空间中全局容量密度的二分性
偏微分方程分析
2020-06-05 v1
摘要
已知欧氏空间中的变分容量 cap_p 在大尺度下具有密度二分性，即对于 R^n 的任意子集 E，inf_{x in R^n} (cap_p(E \cap B(x,r),B(x,2r)) / cap_p(B(x,r),B(x,2r))) 要么为零，要么在 r 趋于无穷时趋于 1。我们证明该性质在配备了支撑 p-Poincaré 不等式的倍增测度的无界完备测地度量空间中仍然成立，但在非测地度量空间以及 R^n 中的 Sobolev 容量下可能失效。结果表明，球的形状会影响密度二分性的有效性。即使在更一般的度量空间中，我们仍构造了使密度二分性成立的集合族，例如 John 域。我们的论证包括关于容量势的超水平集变分容量的精确公式，以及变分容量从内部的定量逼近。
引用
@article{arxiv.1612.09117,
title = {Dichotomy of global capacity density in metric measure spaces},
author = {Hiroaki Aikawa and Anders Björn and Jana Björn and Nageswari Shanmugalingam},
journal= {arXiv preprint arXiv:1612.09117},
year = {2020}
}
备注
2 figures