以管状流形实现稠密球填充作为双曲晶体学的新模型

我们拟延续先前关于双曲空间$\HYP$中等球稠密球填充的论文（\cite{MSz17}与\cite{MSz18}，如其所指），但此处球心属于我们新系列具$z$重旋转对称性的{\it 管状或蛛网流形}$Cw = \HYP/\BCw$的基本群$Cw(2z, 3 \le z \in \bN$, 奇数)的不同轨道。众所周知，$\BCw$是无不动点等距群，以适当巧妙的基本域$Cw$不连续地作用于$\HYP$，使得每点在通常因子拓扑下均有球状邻域。我们的每个$Cw(2z)$均为极小的，即不正则覆盖更小流形。它可由其一般对称群$\BW(u, v, w = u)$导出，该群为完备Coxeter正胞腔反射群，由完备正胞腔$A_0A_1A_2A_3 \sim b_0b_1b_2b_3$（图1）的半周转$\Bh$ $(0 \leftrightarrow 3, 1 \leftrightarrow 2)$扩充而来。因要求$1/u + 1/v \le 1/2$，顶点$A_0$与$A_3$为$\HYP$的外点，上述正胞腔参数满足$3 \le u = w, v$。情形首先于半截正胞腔$W$的图1及其通常扩充Coxeter图描述，亦由公式(1.1)中标积矩阵$(b^{ij}) = (\langle \Bb^i, \Bb^j \rangle)$及其逆$(A_{jk}) = (\langle \BA_j, \BA_k \rangle)$于(1.3)中描述。这些将刻画半截正胞腔$W$的双曲角与距离度量，继而其球填充、密度，以及流形$Cw(2z)$者。作为首批结果，我们仅聚焦于借助计算机对可能材料模型实现（以等球表示原子或分子）的特例构造，亦对一般$W(u;v;w=u)$如此，于文末总结。