关于 Coxeter 群与 Weyl 群轨道的凸包

Vinberg 引入的线性 Coxeter 系统的概念推广了 Coxeter 群的几何表示。我们的主定理断言，如果 $v$ 是线性 Coxeter 系统 Tits 锥的一个元素，且 $\cW$ 是相应的 Coxeter 群，则 $\cW v \subeq v - C_v$，其中 $C_v$ 是由满足 $\alpha(v) > 0$ 的余根 $\check \alpha$ 生成的凸锥。这意味着 $\cW v$ 的凸包完全由 $v$ 在 $\cW$ 中反射下的像决定。我们还将类似的结果应用于对偶空间中 $\cW$-轨道的凸包，尽管这种作用不一定对应于线性 Coxeter 系统。受表示论应用的启发，我们进一步将这些结果扩展到局部有限与局部仿射根系统的 Weyl 群轨道。在局部仿射情形下，我们还推导了一些关于在 Weyl 群轨道上最小化线性泛函的应用。