最高权模的面与泛 Weyl 多面体

设 $V$ 是 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}$ 上的最高权模，并令 conv $V$ 表示其权重的凸包。我们确定了 conv $V$ 的组合同构类型，即完全分类了其面及其包含关系。在 $\mathfrak{g}$ 为半单的特殊情形下，这为 Cellini-Marietti [IMRN 2015] 针对伴随表示以及 Khare [J. Algebra 2016; Trans. Amer. Math. Soc. 2017] 针对大多数模所研究的问题画上了句号。有限维模的面在 Weyl 群作用下的确定及其部分包含关系也出现在 Satake [Ann. of Math. 1960]、Borel-Tits [IHES Publ. Math. 1965]、Vinberg [Izv. Akad. Nauk 1990] 和 Casselman [Austral. Math. Soc. 1997] 的先前工作中。对于任意简单根的子集，我们引入了一个引人注目的凸锥，称之为泛 Weyl 多面体（universal Weyl polyhedron），它控制着从相应 Levi 因子抛物诱导的所有模的凸包。也就是说，该锥的组合同构类型存储了所有此类最高权模的面的分类，以及随着最高权变得愈发奇异时面如何退化。据我们所知，该锥在有限和无限型中都是新的。我们进一步通过证明 conv $V$ 沿一个面的局部化总是抛物诱导模的权重的凸包，回答了 Michel Brion 的一个问题。最后，由于我们无需借助凸性，而是从权重集合表示论地确定了面之间的包含关系，我们回答了关于可对称化量子群上最高权模的类似问题。