极轨道多面体的谱表示

设 $K$ 为紧李群，$V$ 为 $K$ 的有限维表示。向量 $x\in V$ 的轨道多面体是 $V$ 中轨道 $Kx$ 的凸包 $\mathscr O_x$。我们证明若 $V$ 是极的，则 $\mathscr O_x$ 是谱多面体，并给出显式的线性矩阵不等式表示。我们也考虑余轨道多面体 $\mathscr O_x^o$，即与 $\mathscr O_x$ 极的凸集。我们证明 $\mathscr O_x^o$ 是有限多个 $K$-轨道的凸包，并确定了 $\mathscr O_x^o$ 自身为轨道多面体的情形。在这些情形中有 $\mathscr O_x^o=c\cdot\mathscr O_x$，其中 $c>0$。此外我们证明若 $x$ 具有“有理系数”，则 $\mathscr O_x^o$ 再次为谱多面体。这给出了许多新的双重谱轨道多面体族。所有源自经典半单李群的极轨道多面体均可用奇异值与 Ky Fan 矩阵范数上的条件来描述。