完备 Coxeter 正棱体群的最密双曲球堆积与覆盖

在 $n$ 维双曲空间 $\mathbf{H}^n$ $(n\ge2)$ 中存在三种球体：球面、极限球和超球面。当 $n=2,3$ 时，我们知道球堆积密度的普适上界，其中每个球的体积与对应的 Dirichlet-Voronoi (D-V) 胞腔体积相关。例如，在 $\mathbf{H}^3$ 中，最密极限球堆积源自 $\{3,3,6\}$ Coxeter 镶嵌，该镶嵌由二面角为 $\frac{\pi}{3}$ 的理想正则单形 $T_{reg}^\infty$ 构成。此堆积的密度为 $\delta_3^\infty\approx 0.85328$，这也为球堆积密度提供了一个非常粗略的上界。然而，关于全等球的“经典”球堆积以及球覆盖，均无“本质性”结果。本文的目标是寻找 $\mathbf{H}^3$ 中“经典球”的极值球排列。为简化起见，我们仅考虑与广义的所谓{\it 完备 Coxeter 正棱体}及其扩张群相关的周期性全等球排列。在定理 1.1-1.2 中，我们还分别提出了关于最密球堆积（密度为 $0.77147\dots$）和最疏球覆盖（密度为 $1.36893\dots$）的猜想。两者均与扩张 Coxeter 群 $(5, 3, 5)$ 及所谓的双曲足球流形（见图 3）相关。这些事实可能与晶体学中的富勒烯有重要关联。