由双截断 Coxeter 正胞腔砌块生成的全等与不全等超球覆盖

在研究了与双截断 Coxeter 正胞腔砌块相关的全等与不全等超球填充之后，我们考虑相应的覆盖问题。在文献 [MSSz] 中，作者给出了某些双曲空间群超群的部分分类，其基本域将为截断四面体的整数部分，并确定了属于其中某些类的最优全等超球填充与覆盖构型。在本文中，我们通过研究不全等覆盖情形以及剩余的全等情形来补充这些结果。我们证明，在全等与不全等超球覆盖中，最薄的覆盖属于 {7,3,7} Coxeter 砌块，其密度为 ≈1.26829。该覆盖密度小于 L. Fejes Tóth 关于用球与极球覆盖所猜想的下界密度。我们还研究了与 {u,3,7} (6<u<7, u∈ℝ) 双截断正胞腔相关的局部填充排列及相应的超球覆盖。我们证明，这些覆盖在参数 u≈6.45953 时达到其最小密度，覆盖密度 ≈1.26454，小于上述创纪录的最小密度，但与此局部最优覆盖相关的超球排列无法扩展到整个 ℍ³。此外，我们看到，在双曲平面 ℍ² 中，全等圆、极圆、超圆覆盖密度的普适下界 √12/π 也可以由双截断 Coxeter 正胞腔生成的不全等超圆覆盖任意好地逼近。