Thurston 几何中等球最密堆积的一个候选方案

常曲率 $3$ 维空间中无对称性假设的等球（或球体）堆积问题，已由 B"or"oczky 和 Florian 针对双曲空间 $\HYP$ 在 \cite{BF64} 中解决，并由 Hales \cite{H} 通过证明著名的开普勒猜想针对欧几里得空间 $\EUC$ 解决。本文的目标是将寻找最密测地线球（或球体）堆积的问题扩展到其他 $3$ 维齐次几何（Thurston 几何）$$\SXR,~\HXR,~\SLR,~\NIL,~\SOL,$$ 其中假设球堆积具有传递对称群，即所考虑空间的离散等距群之一。此外，我们描述了一个最密测地线球堆积的候选方案。迄今为止最大的密度约为 $0.85327613$，该密度并非由双曲空间 $\HYP$ 中的等球堆积实现。然而，它在 $\overline{\bH}^3$ 的 horoball 堆积中达到，其中 horoball 的理想中心位于 $\overline{\bH}^3$ 的绝对形上，并通过其 Coxeter-Schl"afli 符号诱导正则理想单纯形铺砌 $(3,3,6)$。在这项工作中，我们展示了 $\SXR$ 几何中的一种测地线球堆积，其密度约为 $0.87499429$。极值构型在定理 2.8 中描述，我们的猜想及进一步评述总结于第 3 节。