$\widetilde{\mathbf{S}\mathbf{L}_2\mathbf{R}}$ 空间中正则棱柱铺砌的体积与测地球填充

在第二作者先前的工作\cite{Sz13-1}研究了$\SLR$空间中的正则棱柱及其铺砌之后，我们考虑了与这些铺砌及其对称群$\mathbf{pq2_1}$相关的测地球填充问题。$\SLR$是八个 Thurston 几何之一，可由所有行列式为 1 的$2\times 2$实矩阵构成的 3 维李群导出。在本文中，我们考虑$\SLR$（甚至在$\mathbf{SL_{\mathrm{2}}R}$中）半径$\rho\in [0, \frac{\pi}{2})$的测地球与球体，并确定其体积。此外，我们考虑上述空间的棱柱并计算其体积，定义测地球填充及其密度的概念。我们开发了一种程序来确定铺砌（或更确切地说，对于其生成群$\mathbf{pq2_1}$，其中旋转参数$p,q$为整数；$3\le p, \frac{2p}{p-2} <q$）的最密测地球填充密度。我们寻找上述参数$p$和$q$，使得填充密度尽可能大。目前我们的记录是$(p, q) = (8, 10)$时的$0.567362$。这些计算似乎很重要，因为我们尚不知晓最优球填充，即在双曲空间$\HYP$中的情况。我们只知道由$\HYP$到其理想正则单形铺砌的 horoball 填充实现的密度上界$0.85326$。令人惊讶的是，对于\cite{MSzV13}中相同群$\mathbf{pq2_1}$下的所谓平移球填充，我们得到了更大的密度$0.841700$，对应$(p, q) = (5, 10000 \rightarrow \infty)$，接近上述上界。我们使用第一作者在\cite{M97}中引入的$\SLR$空间的射影模型进行计算和可视化。