Abelian Varieties 中曲线的次数

曲线 $C$ 在偏极化阿贝尔 Varieties $(X,\lambda)$ 中的次数定义为整数 $d=C\cdot\lambda$。当 $C$ 生成 $X$ 时，我们给出一种依赖于 $n$ 和偏极化 $\lambda$ 次数的下界。最小可能次数为 $d=n$，仅当 $C$ 在其雅可比空间中且以主偏极化时才能取得 (Ran, Collino)。我们研究 $d=n+1$ 和 $d=n+2$ 的情况。此外，当 $X$ 为简单代数 variety 时，借助 Smyth 对完全正代数整数迹迹数的研究结果，若 $d\leq 1.7719\, n$，则 $C$ 为光滑且 $X$ 与其雅可比同构。我们还给出曲线几何 genera 与其次数之间的上界。