极化阿贝尔簇中有界次数的椭圆曲线

对于维数 $g>1$ 的极化复阿贝尔簇 $A$，我们研究函数 $N_A(t)$，该函数统计 $A$ 中次数以 $t$ 为界的椭圆曲线数量。我们将椭圆曲线描述为丢番图方程的解，至少对于小维数 $g=2$ 和 $g=3$，这些解可以显式给出；我们表明，计算解的数量可归结为数论中的经典课题，即统计位于 $\mathbb{R}^n$ 显式有界子集上的格 $\mathbb{Z}^n$ 的点数。对于小维数的阿贝尔簇，我们获得了该计数函数的一些上界。