选择界面与钉扎势中的共聚物:弱耦合极限

我们考虑长度为 $N$ 的简单随机游走,记为 $(S_{i})_{i\in \{1,...,N\}}$,并定义 $(w_i)_{i\geq 1}$ 为一列中心化独立同分布随机变量。对 $K\in\N$ 我们定义 $((\gamma_i^{-K},...,\gamma_i^K))_{i\geq 1}$ 为独立同分布的随机向量列。设 $\beta\in \mathbb{R}$, $\lambda\geq 0$ 且 $h\geq 0$,并以哈密顿量 $\lambda \sum_{i=1}^{N} (w_i+h) \sign(S_i)+\beta \sum_{j=-K}^{K}\sum_{i=1}^{N} \gamma_{i}^{j} \boldsymbol{1}_{\{S_{i}=j\}}$ 变换随机游走轨迹集上的测度。此变换后的路径测度描述了一个疏(亲)水共聚物与油水界面周围宽度为 $2K$ 的层相互作用。在本文中,我们证明了在弱耦合极限下(当 $\lambda$、$h$ 与 $\beta$ 趋于 0 时)该离散模型向其连续对应物的收敛性。为此,我们进一步发展了 Bolthausen 与 den Hollander 在 \cite{BDH} 中引入的粗粒化技术。我们的结果特别地表明,随着耦合变弱,界面周围钉扎的随机性消失。