流形中曲线的弹性流收敛性

对于给定的 $p\in[2,+\infty)$，我们将浸入于完备黎曼流形 $(M,g)$ 中的闭曲线 $\gamma:\mathbb{S}^1\to M$ 的 $p$-弹性能量 $\mathscr{E}$ 定义为曲线的长度与其曲率的 $L^p$ 范数（关于长度测度）之和。我们关注这些能量的 $(L^p,L^{p'})$-梯度流到临界点的收敛性。借助抛物型估计，通常可以证明流的子收敛，即曲线在重新参数化以及更重要的是在环境等距下收敛到临界点。假设流子收敛，我们致力于证明流的光滑收敛，即演化流的完全极限的存在性。我们首先概述可用于证明此类结论的一般策略。关键步骤是应用 Lojasiewicz-Simon 梯度不等式，我们给出了其一个通用版本。随后我们将该策略应用于流形中曲线的 $\mathscr{E}$ 流，证明了子收敛改进为到临界点的完全光滑收敛。作为推论，我们得到了在欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$、双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 和二维球面 $\mathbb{S}^2$ 中 $p=2$ 时流的光滑收敛。特别地，该结果意味着在 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{H}^2$ 中的此类流在任何时刻都保持在空间的有界区域内。