关于封闭平面曲线的广义理想流

对于每个整数 $m\ge0$，我们研究封闭浸入平面曲线上的 $m$-理想能量 $$E_m[\gamma]:=\frac12\int_\gamma k_{s^m}^2\,ds$$ 其中 $k$ 为有符号曲率，$s$ 为弧长；$k^2_{s^m} := (k_{s^m})^2$。$m$-理想能量以 Euler 弹性能量和曲率标量的 Dirichlet 能量为特例（$m=0,1$）。我们完全分类了所有 $m\ge1$ 时 $E_m$ 的封闭光滑临界点：它们恰好是圆形的多重覆盖圆。对于 $E_m$ 的最速下降 $L^2(ds)$-梯度流，即 \emph{$m$-理想流}，我们证明对于每个非零旋转数，存在一个曲率振荡阈值，使得从低于该阈值的 $W^{2,2}$ 初始数据出发的每个规范松弛流是不朽的，并且在光滑拓扑下指数渐近于一个圆形的多重覆盖圆。我们还证明了每个具有有界非归一化长度的不朽规范松弛轨迹都收敛于相应的圆。我们进一步处理了 $W^{2,2}$ 类的粗糙初始数据；当 $m\ge1$ 时，这类数据通常具有无穷大的 $E_m$ 能量。在小曲率振荡盆中，每条这样的曲线生成唯一的规范松弛长度归一化流，该流在每个正时刻都是光滑的，连续依赖于初始数据，并光滑收敛至多重覆盖圆。这些结果在 $m=0$ 情形中是已知的，在 $m=1$ 情形中大幅加强了现有工作，而在 $m>1$ 时是全新的。