关于闭合平面曲线的曲线扩散流

在本文中，我们考虑浸入平面曲线的长度泛函的最速下降 $H^{-1}$-梯度流，即所谓的曲线扩散流。已知在该流下，既存在在有限时间内发展出至少一个奇点的初始浸入曲线，也存在在有限时间内自交的初始嵌入曲线。我们证明，在该流下，初始数据在曲率的归一化 $L^2$ 振荡意义下接近圆形的闭合曲线会永远存在，并指数快速收敛到圆形。这意味着，对于足够长的“等待时间”，演化中的曲线是严格凸的。我们为该等待时间提供了最优估计，这为极大值原理失效的程度提供了量化感受。我们还能控制曲线沿演化的最大重数。该估计的一个推论是，满足全局存在定理假设的初始嵌入曲线将保持嵌入。最后，作为应用，我们得到了绕数为 1 的闭合平面曲线的刚性结论。