锥体内具广义 Neumann 边界条件的平面曲线曲率扩散

我们研究了满足锥体内具广义 Neumann 边界条件的四阶非线性曲线扩散流的平滑浸入正则平面曲线族 $\alpha : \left [-1,1 \right ]\times \left [0,T \right )\to \mathbb{R}^{2}$。我们表明，如果初始曲线的曲率振荡足够小，则在流的作用下该性质得以保持。此类演化曲线族要么在有限时间内存在（当曲线的一端到达锥顶或曲率在 $L^2$ 中变得无界时），要么无限时间存在并在 $C^{\infty}$ 拓扑中指数收敛于圆弧；该圆弧与锥边界共同围成的面积与初始曲线和锥边界围成的面积相同。对于具有适当边界条件的高阶多调和曲线扩散流，也可能得到类似的结果；特别是在六阶情况下，对曲率振荡的小性条件与曲线扩散的情况完全相同。