锥体内平面曲线的长度约束、长度惩罚和自由弹性流

我们研究了锥体内满足广义Neumann边界条件的光滑、嵌入、正则曲线族$\alpha : \left [-1,1 \right ]\times \left [0,T \right ]\rightarrow \mathbb{R}^2$，它们满足弹性能的四阶非线性$L^2$梯度流的三种变体：（1）带长度惩罚的弹性流，（2）固定长度的弹性流，以及（3）无约束或“自由”弹性流。假设曲线的两端都不会到达锥尖，对于给定的初始数据，所有时间解的存在性众所周知，但极限形状的分类通常未知。对于不太大的锥角，并且在初始曲线的$L^2$范数（关于弧长导数）满足适当小条件的情况下，我们证明了在情况（1）和（2）中，解在$C^\infty$拓扑下平滑指数收敛到特定的圆弧，而在情况（3）中，我们证明了平滑收敛到一个扩展的自相似弧。