一种肿瘤生长模型数值格式的收敛性分析

我们考虑一个一维空间肿瘤生长模型 [2, 3, 4]，该模型包含三个依赖于空间和时间的变量：肿瘤细胞体积分数、肿瘤细胞速度和营养物质浓度。模型变量满足一个耦合系统，该系统由半线性对流方程（双曲型）、简化线性 Stokes 方程（椭圆型）和半线性扩散方程（抛物型）组成，并在由常微分方程控制的时变边界上具有适当的条件。我们采用在更大的固定时空域中定义的模型重构，以克服与时变边界相关的一些理论困难。这种重构通过消除显式跟踪时变边界的需要降低了模型的复杂性，但方程中的非线性、简化 Stokes 方程中的非强制算子以及未知变量之间的相互依赖性仍然对合适先验估计的证明构成挑战。我们开发了一种数值格式，该格式对双曲方程使用有限体积法，对椭圆方程使用有限元法，对抛物方程使用时间上向后 Euler、空间上质量集中有限元法。我们证明了存在一个时间区间 $(0,T_{\ast})$，在此区间上，利用紧性技术，我们可以提取数值近似的一个收敛子序列。任何此类收敛子序列的极限被证明在适当意义下是连续模型的弱解，我们称之为阈值解。证实理论发现的数值测试和论证作为本文的结尾。