通过随机量化在 ${\mathbb R}^3$ 上构造非高斯旋转不变 $\Phi ^4$ 测度及其关联流

给出了与量子场论 $\varphi ^4_3$-模型相关联的非高斯、旋转不变且反射正的概率测度 $\mu$ 的一种新构造。我们的构造结合了半群方法与随机偏微分方程（SPDE）方法，以寻找与 $\varphi ^4_3$-模型相关联的自然随机量化的解与平稳测度。我们的出发点是我们意图构造的测度 $\mu$ 的一个合适近似 $\mu_{M,N}$。$\mu_{M,N}$ 由一个依赖于 $M$ 的空间截断函数 $\rho_M: {\mathbb R}^3\rightarrow {\mathbb R}$ 和一个依赖于 $N$ 的动量截断函数 $\psi_N: \widehat{\mathbb R}^3 \cong {\mathbb R}^3 \rightarrow {\mathbb R}$ 参数化，它们作用于相互作用项（非线性项与抵消项）。相应的随机量化方程族产生解 $(X_t^{M,N}, t\geq 0)$，其以 $\mu_{M,N}$ 为不变概率测度。通过对负指标加权 Besov 空间（具有旋转不变权）上奇异随机微分方程的的概率与泛函分析方法相结合，我们证明了连续过程族 $(X_t^{M,N},t \geq 0)_{M,N}$ 的紧性。当 $M$ 与 $N$ 均趋于 $+\infty$ 时，依律收敛意义下的极限点存在。极限过程 $(X_t; t\geq 0)$ 在合适 Besov 空间的交上连续，且 $\mu_{M,N}$ 的任意极限点 $\mu$ 是 $X$ 的平稳测度。$\mu$ 被证明是一个旋转不变且非高斯的概率测度，我们给出了其支撑的结果。还证明了 $\mu$ 满足属于欧氏量子场公理族的一个进一步重要性质，即其为反射正的。